COMPLEMENTO DE LAS GENERALIDADES DE LAS CÓNICAS (1)

De nuevo, un tema trillado.   Hemos estudiado persistentemente a la elipse; en el colegio, en la Universidad, en la técnica.   La consideramos una figura muy popular, porque la forma general de algunos objetos conocidos, sobre todo naturales, presentan esta misma figura.   Todas las formas que genera un círculo cuando se inclina, son elipses.  Lástima que al considerarla una figura tan común; asumamos también que la conocemos bien.  No es así.

Conocemos la ecuación cartesiana que grafica una elipse, y conocemos la ecuación polar que genera la curva equivalente.  Conocemos la fórmula para calcular el área de la elipse y el volumen del elipsoide de revolución.  Pero patinamos cuando requerimos conocer la longitud de una elipse o la superficie del elipsoide.   De hecho, no se conocen procedimientos matemáticos mediante los cuales se obtengan fórmulas para hallar la longitud de una elipse.  Por lo general, la fórmula que se obtiene mediante procedimientos matemáticos, es L=2π√ab; la cual solo aplica para un caso específico de elipses con excentricidad muy pequeña.  Se conoce de fórmulas muy precisas para calcular esos elementos de la elipse, pero son producto de la creatividad matemática, no de los algoritmos.

Empezando, en el presente ensayo se propone la conveniencia de emplear un cono de vértice recto, como base para obtener las cónicas, de manera que hallar sus propiedades internas, como foco, semi-ejes y otras, resulta más sencillo y metódico.  De esta manera, queda también definido el concepto de excentricidad, como la tangente del ángulo de inclinación del corte del cono. 

La ecuación cartesiana de la elipse, es:

Donde a es el semieje mayor, y b es el semieje menor.

Como una cónica, la elipse se obtiene objetivamente, del corte recto de un sistema de dos conos opuestos, unidos por los vértices en un único punto.  La propuesta presentada en este ensayo, es que se use un sistema de dos conos de vértice recto. 

  

Cuando el corte es perpendicular al eje del sistema, se obtiene un círculo. 

Cuando el corte presenta una pendiente mayor que 0 y menor que 45 grados respecto del plano del círculo, se obtiene una elipse.

Cuando el corte se hace justo en los 45 grados; se obtiene una parábola. 

Los cortes entre 45 y 90 grados, generan hipérbolas.

En el siguiente gráfico, se ha trazado los perfiles de un círculo (segmento del eje x dentro del cono); cinco elipses (líneas de colores azul claro, verde claro, azul, fucsia y verde); y una parábola.   El ángulo de corte se designa por (t). 

Al tener el gráfico sobre un plano cartesiano, podemos verificar que cada línea posee su ecuación definida:  El borde derecho del cono superior, y=x-p; el izquierdo: y=-x-p, el corte horizontal; y=0 ; el eje del sistema (vertical): x=0 

El corte paralelo al borde derecho del cono, que representa a la parábola: y=x, el corte de color azul claro: y=x/3; el corte de color verde claro: y=3x/8; el corte de color azul: y=x/2; el corte de color fucsia: y=3x/5; y el corte de color verde oscuro: y=3x/4.   Conociendo esto, se puede obtener el punto donde ocurre cualquiera de las intersecciones entre líneas, y los puntos medios de los ejes mayores dibujados. 

Lo normal, es que al iniciar un ejercicio que incluya una cónica, se conozca al menos, a y b. (están en la ecuación).  De manera que se puede hallar c.   Con esos valores, se obtiene la excentricidad “e”.

Como se había mencionado, la propuesta de emplear conos de vértice recto, favorece que:

Por lo que es sencillo hallar el ángulo de corte (t).

Conociendo que un punto focal se ubica a la distancia “c” del centro del eje mayor; (a=c+df) y que el vértice recto del cono debe ubicarse en el eje vertical que pasa por el punto focal; se puede conocer la posición del corte horizontal, el cual debe pasar también por el punto focal “f”.

La mitad del corte perpendicular al eje, corresponde al radio (r) del círculo, o al semieje focal (sef o b(f)) de la elipse, parábola o hipérbola.  De igual manera, corresponde a la “profundidad” o distancia desde el vértice hasta el foco; siendo este último, el punto de giro de la figura.  Es decir; la figura cónica a generar no gira a partir del centro o eje menor, si no a partir de su foco o eje focal.

De esta forma, cada línea que equivale al eje mayor de cada una de las curvas cónicas, contiene la distancia focal (df), y la suma c+a, que corresponden al segmento mayor de la línea, ubicado en el gráfico, a la derecha del punto (0,0).   Se observa en el gráfico, que la menor distancia focal la presenta la parábola, y equivale a r/√2. 

Esto conduce a que en el círculo (el cual hemos dicho en otra entrada de este blog que no es una cónica), la distancia focal sea igual al radio e igual a “a” e igual a “b”, por lo que “c” se hace cero. 

En el gráfico anterior, se puede observar la distancia entre el punto (0,0) (foco de las cónicas) y el vértice común de los conos que conforman el sistema.  A esa distancia vertical, llamaremos “p” (como de profundidad).  P equivale al semieje focal y con frecuencia, es más “visible” que ese semieje.   

En la gráfica anterior, también puede observarse, con puntos rojos, los centros de las cónicas.   Con atención, podemos notar que la secuencia de estos puntos, de acuerdo al ángulo del corte (t); forma una curva que podría ser una parábola, o una hipérbola.

Para determinar el tipo de curva y su ecuación, hacemos un acertamiento al gráfico, y definimos un corte de elipse, así: 

Los elementos del círculo, están definidos en el segmento AB.   Este contiene el radio (sef), y el centro (f).  El ángulo de corte, es cero grados respecto de la perpendicular al eje bisectriz del vértice.

Se define una elipse, con el segmento CD.  Este segmento contiene la distancia focal (df); "c" (f-E); y "a" (E-D).   El ángulo de corte es (t).  

A partir de los elementos conocidos de la gráfica, y recordando que el vértice V es recto; obtenemos:

Cuya gráfica representa la secuencia de puntos medios del eje mayor, o centros de todas las cónicas que pueden graficarse a partir de los cortes que pasen por el eje focal.   Esta curva, resultó ser una hipérbola.