PORQUÉ LA CIRCUNFERENCIA NO ES UNA CÓNICA?
Es muy frecuente que en los cursos de Geometría analítica, los maestros enseñen que las figuras cónicas no incluyen a la Circunferencia. Sin embargo, al enseñar que las cónicas pueden representarse con las Áreas de corte recto que resultan en un par de conos ubicados vértice con vértice sobre el mismo eje; queda la impresión de: O la representación mental no es adecuada, o la condición del corte es extrañamente específica; pues es fácil imaginar que si se corta -perpendicularmente al eje- uno de los dos conos por un punto alejado del vértice común; la forma generada en dicho corte, es un círculo.
Los docentes no explican porqué ocurre esto; simplemente insisten en que la circunferencia no es una cónica, porque el texto guía lo dice; y punto. Lo curioso es que si la circunferencia no aparece en el libro como una cónica, con mayor razón, el punto también es excluido de entre las cónicas. Si algún estudiante se atreve a indagar tal conclusión; sería objeto de comentarios pocas veces constructivos.
Efectivamente; la circunferencia no es una cónica; pero el punto sí. En este ensayo veremos cómo se llega a esa conclusión.
Miremos esta figura.
Para obtener una ecuación general que grafique las cónicas, se hace una "violación" de la condición geométrica que genera la Parábola: En lugar de hacer iguales las distancias fP y DP; igualdad derivada de la condición e=1; se define una proporcionalidad entre ellas, mediada por la excentricidad e de manera que:
Esta ecuación, o su equivalente en coordenadas polares
pueden ser utilizadas para representar cualquiera de las cónicas.
En efecto; cuando e>1; (caso de la Hipérbola); y organizando α con base en el valor de e; se obtiene la ecuación de una Hipérbola. (Se utiliza la ecuación cartesiana α, porque posiblemente la mayoría de lectores no esté familiarizado con las ecuaciones polares de las cónicas). Cuando e=1; se obtiene de α, una Parábola al eliminarse el primer término de la ecuación, y reorganizar los otros términos. Cuando e<1 sin llegar a cero; y reorganizar, se obtiene la ecuación de una Elipse. El problema aparece cuando e=0; con lo que debería resultar la ecuación de una Circunferencia.
Efectivamente aparece una circunferencia, pero con un radio extraño. Hagamos el ejercicio.
Utilizando la ecuación cartesiana, se genera las siguientes gráficas de acuerdo al valor de la excentricidad e.
La excentricidad >1, genera Hipérbolas según dicho valor de ∞>e>1
La excentricidad =1; genera una Parábola.
La excentricidad 0<e<1, genera Elipses según dicho valor de e.
La excentricidad =0, genera una circunferencia de radio =0 (Un punto)
Como podemos ver, cuando la excentricidad es cero; debería mostrarse una circunferencia, dado que para esta figura, e vale cero. Sin embargo, vemos que no aparece curva alguna, sino un simple punto. Es decir; si aplicamos cero a e en cualquiera de las dos ecuaciones y organizamos la ecuación resultante, resultaría una circunferencia de radio cero.
En el caso de emplear la ecuación polar, resultaría
Queda claro?. La circunferencia no es una cónica; pero el punto sí lo es.
Los docentes no explican porqué ocurre esto; simplemente insisten en que la circunferencia no es una cónica, porque el texto guía lo dice; y punto. Lo curioso es que si la circunferencia no aparece en el libro como una cónica, con mayor razón, el punto también es excluido de entre las cónicas. Si algún estudiante se atreve a indagar tal conclusión; sería objeto de comentarios pocas veces constructivos.
Efectivamente; la circunferencia no es una cónica; pero el punto sí. En este ensayo veremos cómo se llega a esa conclusión.
Miremos esta figura.
Para obtener una ecuación general que grafique las cónicas, se hace una "violación" de la condición geométrica que genera la Parábola: En lugar de hacer iguales las distancias fP y DP; igualdad derivada de la condición e=1; se define una proporcionalidad entre ellas, mediada por la excentricidad e de manera que:
e*DP=fP
Esta ecuación, o su equivalente en coordenadas polares
pueden ser utilizadas para representar cualquiera de las cónicas.
En efecto; cuando e>1; (caso de la Hipérbola); y organizando α con base en el valor de e; se obtiene la ecuación de una Hipérbola. (Se utiliza la ecuación cartesiana α, porque posiblemente la mayoría de lectores no esté familiarizado con las ecuaciones polares de las cónicas). Cuando e=1; se obtiene de α, una Parábola al eliminarse el primer término de la ecuación, y reorganizar los otros términos. Cuando e<1 sin llegar a cero; y reorganizar, se obtiene la ecuación de una Elipse. El problema aparece cuando e=0; con lo que debería resultar la ecuación de una Circunferencia.
Efectivamente aparece una circunferencia, pero con un radio extraño. Hagamos el ejercicio.
Utilizando la ecuación cartesiana, se genera las siguientes gráficas de acuerdo al valor de la excentricidad e.
La excentricidad >1, genera Hipérbolas según dicho valor de ∞>e>1
La excentricidad =1; genera una Parábola.
La excentricidad 0<e<1, genera Elipses según dicho valor de e.
La excentricidad =0, genera una circunferencia de radio =0 (Un punto)
Como podemos ver, cuando la excentricidad es cero; debería mostrarse una circunferencia, dado que para esta figura, e vale cero. Sin embargo, vemos que no aparece curva alguna, sino un simple punto. Es decir; si aplicamos cero a e en cualquiera de las dos ecuaciones y organizamos la ecuación resultante, resultaría una circunferencia de radio cero.
En el caso de emplear la ecuación polar, resultaría
Queda claro?. La circunferencia no es una cónica; pero el punto sí lo es.
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